Geometría | Identidades Trigonométricas
¡Bienvenido a la sección Identidades Trigonométricas!
Aquí encontrarás recursos, explicaciones y herramientas diseñadas para ayudarte a comprender y dominar el proceso de demostrar identidades trigonométricas. Ya sea que estés comenzando a explorar este tema o buscando reforzar tus conocimientos, esta sección te guiará paso a paso con ejemplos claros y ejercicios prácticos.
1. Identidades trigonométricas
1.1. Definición
1.1. Definición
Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas que se cumplen para todos los valores de la variable. Por ejemplo, para cualquier \(\theta\) tenemos:
\[\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta =1\]
Ejemplos
1. \(4x+1 \equiv 2\left(2x+1\right)-1\)
No importa qué valor se le asigne a \(x\), el lado izquierdo siempre dará el mismo resultado que el lado derecho.
Hagamos \(x=0\):
\[\begin{aligned} 4x+1 &\equiv \\ 4\left(0\right)+1 &\equiv \\ 0+1 & \equiv \\ 1 & \equiv \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} & \equiv 2\left(2x+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(2\left(0\right)+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(0+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(1\right)-1 \\ & \equiv 2-1 \\ & \equiv 1 \end{aligned}\]
Hagamos \(x=5\):
\[\begin{aligned} 4x+1 &\equiv \\ 4\left(5\right)+1 &\equiv \\ 20+1 & \equiv \\ 21 & \equiv \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} & \equiv 2\left(2x+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(2\left(5\right)+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(10+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(11\right)-1 \\ & \equiv 22-1 \\ & \equiv 21 \end{aligned}\]
Hagamos \(x=-8\):
\[\begin{aligned} 4x+1 &\equiv \\ 4\left(-8\right)+1 &\equiv \\ -32+1 & \equiv \\ -31 & \equiv \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} & \equiv 2\left(2x+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(2\left(-8\right)+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(-16+1\right)-1 \\ & \equiv 2\left(-15\right)-1 \\ & \equiv -30-1 \\ & \equiv -31 \end{aligned}\]
Esto se debe a que son dos expresiones equivalentes:
\[\begin{aligned} 4x+1 &\equiv \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} & \equiv 2\left(2x+1\right)-1 \\ & \equiv 4x+2-1 \\ & \equiv 4x+1 \end{aligned}\]
2. \(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta =1\)
En identidades que involucren funciones trigonométricas, no importa qué valor se le asigne al ángulo \(\theta\), el lado izquierdo siempre dará el mismo resultado que el lado derecho.
Hagamos \(\theta=15°\):
\[\begin{aligned} \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta &\equiv \\ \left(\sin15\right)^{2}+\left(\cos15\right)^{2} &\equiv \\ 0,07+0,93 & \equiv \\ 1 & \equiv \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} & \equiv 1 \end{aligned}\]
Hagamos \(\theta=180°\):
\[\begin{aligned} \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta &\equiv \\ \left(\sin180\right)^{2}+\left(\cos180\right)^{2} &\equiv \\ 0+1 & \equiv \\ 1 & \equiv \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} & \equiv 1 \end{aligned}\]
¿Cómo demostrar que una identidad es verdadera, sin tener que evaluar todos los números? Continúa en la siguiente sección.
1. Identidades Trigonométricas
1.2. Identidades fundamentales
Identidades Trigonométricas Recíprocas
\[\sin \alpha = \frac{1}{\csc \alpha}\]
\[\cos \alpha = \frac{1}{\sec \alpha}\]
\[\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}\]
\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]
\[\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}\]
\[\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}\]
\[\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\]
\[\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\]
Identidades Trigonométricas Pitagóricas
\[\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \equiv 1\]
\[\tan^{2} \theta +1 \equiv \sec^{2} \theta\]
\[1+ \cot^{2} \theta \equiv \csc^{2} \theta\]
Ejemplos
Identidades Trigonométricas Recíprocas
Para explicar entender estas identidades es necesario recordar las definiciones de las razones trigonométricas. Ver más.
\[\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}\]
\[\begin{aligned} \sin \theta &\equiv \frac{1}{\dfrac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Opuesto}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Opuesto}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\\ \\ & \equiv \sin\theta \end{aligned}\]
\[\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}\]
\[\begin{aligned} \cos\theta &\equiv \frac{1}{\dfrac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Adyacente}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Adyacente}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}\\ \\ & \equiv \cos\theta \end{aligned}\]
\[\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}\]
\[\begin{aligned} \tan\theta &\equiv \frac{1}{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Cateto Opuesto}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Cateto Opuesto}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}\\ \\ & \equiv \tan\theta \end{aligned}\]
\[\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
\[\begin{aligned} \tan\theta &\equiv \frac{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}}{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\cancel{\text{Hipotenusa}}}}{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\cancel{\text{Hipotenusa}}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}\\ \\ & \equiv \tan\theta \end{aligned}\]
\[\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}\]
\[\begin{aligned} \csc \theta &\equiv \frac{1}{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Opuesto}}\\ \\ & \equiv \csc\theta \end{aligned}\]
\[\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}\]
\[\begin{aligned} \sec\theta &\equiv \frac{1}{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Adyacente}}\\ \\ & \equiv \sec\theta \end{aligned}\]
\[\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}\]
\[\begin{aligned} \cot\theta &\equiv \frac{1}{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Cateto Opuesto}}\\ \\ & \equiv \cot\theta \end{aligned}\]
\[\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\]
\[\begin{aligned} \cot\theta &\equiv \frac{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}}{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}} \\ \\ & \equiv \frac{\dfrac{\text{Cateto Adyacente}}{\cancel{\text{Hipotenusa}}}}{\dfrac{\text{Cateto Opuesto}}{\cancel{\text{Hipotenusa}}}} \\ \\ & \equiv \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Cateto Opuesto}}\\ \\ & \equiv \cot\theta \end{aligned}\]
Identidades Trigonométricas Pitagóricas
\[\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \equiv 1\]
Considere el siguiente triángulo rectángulo:
En este triángulo se pueden establecer varias igualdades:
1. Teorema de Pitágoras (Ver más):
\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]
2. Razones trigonométricas Seno y Coseno:
\[\sin\theta=\frac{a}{c} \Longrightarrow c\cdot\sin\theta=a\]
\[\cos\theta=\frac{b}{c} \Longrightarrow c\cdot\cos\theta=b\]
Sustituyendo \(a\) y \(b\) en el Teorema de Pitágoras, se tiene que:
\[\begin{aligned} a^{2}+b^{2} &=c^{2} \\ \\ \left(c\cdot\sin\theta\right)^{2}+\left(c\cdot\cos\theta\right)^{2} &=c^{2} \\ \\ c^{2}\cdot\sin^{2}\theta+c^{2}\cdot\cos^{2}\theta &=c^{2} \\ \\ \frac{c^{2}\cdot\sin^{2}\theta}{c^{2}}+\frac{c^{2}\cdot\cos^{2}\theta}{c^{2}} &=\frac{c^{2}}{c^{2}} \\ \\ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta &\equiv 1 \end{aligned}\]
Las otras dos identidades pitagóricas se demuestran en la sección siguiente.
1. Identidades Trigonométricas
1.3. Demostración de identidades
1.3. Demostración de identidades
Demostrar una identidad trigonométrica consiste en transformar los miembros de la ecuación para mostrar que estos son iguales.
Sugerencias para demostrar una identidad trigonométrica.
Algunas pautas para la demostración de una identidad trigonométrica son:
1. Convertir, cuando sea posible, las expresiones en otras que solo contengan senos y cosenos.
2. Empezar por el lado que tiene más términos en la igualdad y realizar las transformaciones que sean posibles hasta obtener la expresión del otro lado.
3. Realizar las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación o factorización, entre otras, con el fin de simplificar las expresiones lo que más se pueda.
En ocasiones puede ser más conveniente transformar cada lado de la identidad por separado, hasta llegar a la misma expresión en los dos lados.
Ejemplos
1. \(\tan^{2} \theta +1 \equiv \sec^{2} \theta\)
Solución 1.
Partir de algo conocido: \[ \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \equiv 1\]
Dividir la expresión por \(\cos^{2} \theta \) \[ \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} + \frac{\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \equiv \frac{1}{\cos^{2} \theta}\]
\[ \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} + 1 \equiv \frac{1}{\cos^{2} \theta}\]
Reemplazando por las identidades recíprocas se tiene:
\[ \tan^{2} \theta +1 \equiv \sec^{2} \theta \]
Solución 2.
Escribir de la expresión dada: \[ \tan^{2} \theta +1 \equiv \sec^{2} \theta\]
Escribir la expresión en términos de Seno y Coseno: \[\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} + 1 \equiv \frac{1}{\cos^{2} \theta}\]
Realizar las operaciones: \[ \frac{\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \equiv \frac{1}{\cos^{2} \theta}\]
Reemplazando \(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \equiv 1\) se tiene: \[\frac{1}{\cos^{2} \theta} \equiv \frac{1}{\cos^{2} \theta}\]
Al llegar a dos expresiones iguales, queda demostrado que:
\[ \tan^{2} \theta +1 \equiv \sec^{2} \theta \]
2. \(1+ \cot^{2} \theta \equiv \csc^{2} \theta\)
Escribir de la expresión dada: \[1+ \cot^{2} \theta \equiv \csc^{2} \theta\]
Escribir la expresión en términos de Seno y Coseno: \[1+\frac{\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}\equiv \frac{1}{\sin^{2} \theta}\]
Realizar las operaciones: \[ \frac{\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} \equiv \frac{1}{\sin^{2} \theta}\]
Reemplazando \(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \equiv 1\) se tiene: \[\frac{1}{\sin^{2} \theta} \equiv \frac{1}{\sin^{2} \theta}\]
Al llegar a dos expresiones iguales, queda demostrado que:
\[1+ \cot^{2} \theta \equiv \csc^{2} \theta\]
3. \(\tan \theta + \cot \theta \equiv \sec \theta \cdot \csc \theta\)
Escribir de la expresión dada: \[\tan \theta + \cot \theta \equiv \sec \theta \cdot \csc \theta\]
Escribir la expresión en términos de Seno y Coseno: \[\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \equiv \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}\]
Realizar las operaciones: \[\frac{\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta} \equiv \frac{1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\]
Reemplazando \(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \equiv 1\) se tiene: \[\frac{1}{\cos \theta \cdot \sin \theta} \equiv \frac{1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\]
Al llegar a dos expresiones iguales, queda demostrado que:
\[\tan \theta + \cot \theta \equiv \sec \theta \cdot \csc \theta\]
Ejercicios
Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:
\[\sin^{2} \theta \cdot \csc \theta \equiv \sin \theta\]
\[\tan \alpha + \cot \alpha \equiv \cot \alpha \cdot \sec^{2} \alpha\]
\[\frac{1- \sin \beta}{\cos \beta} \equiv \frac{\cos \beta}{1+ \sin \beta}\]
\[\frac{1}{1+ \cos^{2} \alpha} + \frac{1}{1+ \sec^{2} \alpha} \equiv 1\]
\[\sin^{4} x- \cos^{4} x \equiv 2 \sin^{2} x-1\]
\[\sin \beta \equiv \left(1- \cos \beta \right) \left(\csc \beta + \cot \beta \right)\]
\[\frac{\sin \alpha}{1+ \cos \alpha} + \cot \alpha \equiv \csc \alpha\]
\[(\cos \alpha)( \tan \alpha + \sin \alpha \cdot \cot \alpha) \equiv \sin \alpha + \cos^{2} \alpha\]
\[(\sin \alpha)( \cot \alpha + \cos \alpha \cdot \tan \alpha) \equiv \cos \alpha + \sin^{2} \alpha\]
\[(1- \tan \alpha )^{2} \equiv \sec^{2} \alpha - 2 \tan \alpha\]
\[(\cos \alpha- \sin \alpha )^{2} \equiv 1-2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha\]
\[\frac{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{\cos^{2} \alpha} \equiv \tan^{2} \alpha\]
\[\tan x + \sec x \equiv \frac{\cos x}{1- \sin x}\]
\[\frac{\cos^{2} x-1}{\cos x} \equiv - \tan x \cdot \sin x\]
\[\frac{\sec^{2}x -1}{\sin x} \equiv \frac{\sin x}{1- \sin^{2} x}\]
\[(1- \sin x)(1+ \csc x) \equiv 1- \sin x + \csc x - \sin x \cdot \csc x\]
\[\frac{1}{1- \cos x} + \frac{1}{1+ \cos x} \equiv 2 \csc^{2} x\]
\[(\cos t - \sin t)^{2} + (\cos t + \sin t)^{2} \equiv 2\]
\[\sin^{2} \beta - \cos^{2} \beta \equiv 1-2 \cos^{2} \beta\]
\[\frac{1+ \tan^{2} x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x} \equiv \sec^{2} x\]
\[\frac{1}{\tan \beta}+\tan \beta \equiv \sec \beta \cdot \csc \beta\]
\[\frac{\sin \beta}{\tan \beta} \equiv \cos \beta\]
\[\frac{\tan \beta}{\sec \beta} \equiv \sin \beta\]
\[\frac{\cos \beta \sec \beta}{\tan \beta} \equiv \cot \beta\]
\[\frac{\cot \beta \sec \beta}{\csc \beta} \equiv 1\]
\[\sin \theta + \cos \theta \cot \theta \equiv \csc \theta \]
\[\tan \theta + \cot \theta \equiv \sec \theta \csc \theta\]
\[\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^{2} \equiv 1+2\sin\theta\cos\theta\]
\[\left(1-\cos\theta\right)\left(1+\cos\theta\right) \equiv \frac{1}{\csc^{2}\theta}\]
\[\frac{\cos\theta}{\sec\theta}+\frac{\sin\theta}{\csc\theta} \equiv 1\]
\[\frac{\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^{2}}{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta} \equiv \frac{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}{\left(\sin\theta-\cos\theta\right)^{2}}\]
\[\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^{4} \equiv \left(1+2\sin\theta\cos\theta\right)^{2}\]
\[\frac{\sec\theta-\cos\theta}{\sec\theta} \equiv \sin^{2}\theta\]
\[\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta} \equiv \left(\sec\theta-\tan\theta\right)^{2}\]
\[\frac{1}{1-\sin^{2}\theta} \equiv 1+\tan^{2}\theta\]
\[\csc\theta-\sin\theta \equiv \cos\theta\cot\theta\]
\[\left(\cot\theta-\csc\theta\right)\left(\cos\theta+1\right) \equiv -\sin\theta\]
\[\sin^{4}\theta-\cos^{4}\theta \equiv \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta\]
\[\left(1-\cos^{2}\theta\right)\left(1+\cot^{2}\theta\right) \equiv 1\]
\[\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta \equiv 2\cos^{2}\theta-1\]
\[2\cos^{2}\theta-1 \equiv 1-2\sin^{2}\theta\]
\[\left(\tan\theta+\cot\theta\right)\sin\theta\cos\theta \equiv 1\]
\[\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \equiv \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\]
\[\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta+\tan^{2}\theta \equiv \sec^{2}\theta\]
\[\tan^{2}\theta-\sin^{2}\theta \equiv \tan^{2}\theta\sin^{2}\theta\]
\[\cot^{2}\theta\cos^{2}\theta \equiv \cot^{2}\theta-\cos^{2}\theta\]
\[\frac{\sin\theta-1}{\sin\theta+1} \equiv \frac{-\cos^{2}\theta}{\left(\sin\theta+1\right)^{2}}\]
\[\frac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta} \equiv \frac{\tan\theta}{1+\tan\theta}\]
\[\frac{\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^{2}}{\sin\theta\cos\theta} \equiv 2+\sec\theta\csc\theta\]
\[\sec\theta\csc\theta\left(\tan\theta+\cot\theta\right) \equiv \sec^{2}\theta+\csc^{2}\theta\]
\[\frac{1+\tan^{2}\theta}{1-\tan^{2}\theta} \equiv \frac{1}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}\]
\[\frac{1+\sec^{2}\theta}{1+\tan^{2}\theta} \equiv 1+\cos^{2}\theta\]
\[\frac{\sec\theta}{\sec\theta-\tan\theta} \equiv \sec\theta\left(\sec\theta+\tan\theta\right)\]
\[\frac{\sec\theta+\csc\theta}{\tan\theta+\cot\theta} \equiv \sin\theta+\cos\theta\]
\[\sec\theta-\tan\theta \equiv \frac{1}{\sec\theta+\tan\theta}\]
\[\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}-\cot\theta \equiv \csc\theta\]
\[\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sec\theta+\csc\theta} \equiv \sin\theta\cos\theta\]
\[\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}+\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} \equiv 2\csc\theta\]
\[\frac{\csc\theta-\cot\theta}{\sec\theta-1} \equiv \cot\theta\]
\[\frac{\csc^{2}\theta-\cot^{2}\theta}{\sec^{2}\theta} \equiv \cos^{2}\theta\]
\[\tan^{2}\theta-\sin^{2}\theta \equiv \tan^{2}\theta\sin^{2}\theta\]
\[\frac{\tan\theta\sin\theta}{\tan\theta+\sin\theta} \equiv \frac{\tan\theta-\sin\theta}{\tan\theta\sin\theta}\]
\[\sec^{4}\theta-\tan^{4}\theta \equiv \sec^{2}\theta+\tan^{2}\theta\]
\[\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} \equiv \sec\theta+\tan\theta\]
\[\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} \equiv \frac{\sin\theta-\csc\theta}{\cos\theta-\cot\theta}\]
\[\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta} \equiv \frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\]
\[\frac{\cos^{2}\theta+\tan^{2}-1}{\sin^{2}\theta} \equiv \tan^{2}\theta\]
\[\frac{1}{1-\sin\theta}-\frac{1}{1+\sin\theta} \equiv 2\sec\theta\tan\theta\]
\[\frac{1}{\sec\theta+\tan\theta}+\frac{1}{\sec\theta-\tan\theta} \equiv 2\sec\theta\]
\[\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}-\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta} \equiv 4\tan\theta\sec\theta\]
\[\left(\tan\theta+\cot\theta\right)^{2} \equiv \sec^{2}\theta+\csc^{2}\theta\]
\[\tan^{2}\theta-\cot^{2}\theta \equiv \sec^{2}\theta-\csc^{2}\theta\]
\[\frac{\sec\theta-1}{\sec\theta+1} \equiv \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\]
\[\frac{\cot\theta+1}{\cot\theta-1} \equiv \frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}\]
\[\frac{\sin^{3}\theta+\cos^{3}\theta}{\sin\theta+\cos\theta} \equiv 1-\sin\theta\cos\theta\]
\[\frac{\tan\theta-\cot\theta}{\tan^{2}\theta-\cot^{2}\theta} \equiv \sin\theta\cos\theta\]
\[\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \equiv \left(\tan\theta+\sec\theta\right)^{2}\]
\[\frac{\tan\theta+\tan\beta}{\cot\theta+\cot\beta} \equiv \tan\theta\tan\beta\]
\[\left(\tan\theta+\cot\theta\right)^{4} \equiv \csc^{4}\theta\sec^{4}\theta\]
\[\left(\sin\theta-\tan\theta\right)\left(\cos\theta-\cot\theta\right) \equiv \left(\cos\theta-1\right)\left(\sin\theta-1\right)\]
